En el caso de la gripe, depende de la cepa de la misma. El tipo específico de enfermedad que se transmite de los humanos a los animales y al revés se llama enfermedad zoonótica. Según PetMD :
El potencial de zoonosis depende de una variedad de factores, incluyendo el clima, la geografía, la densidad de población, las condiciones sanitarias (o la falta de ellas), los hábitos de aseo y otros factores.
Algo como la Gripe Porcina es un buen ejemplo y el artículo relacionado proporciona muchos más.
En el caso de los hurones y la gripe, es posible que se les transmitan cepas generalmente sólo humanas. Es por eso que los hurones son comúnmente usados en estudios porque su sistema inmunológico es similar al nuestro. De Wikipedia :
Debido a que comparten muchas características anatómicas y fisiológicas con los humanos, los hurones son ampliamente utilizados como sujetos experimentales en la investigación biomédica, en campos como la virología, fisiología reproductiva, anatomía, endocrinología y neurociencia.
Para responder realmente a su pregunta: En general, no. Pero hay otros factores (como la cepa particular de una enfermedad) que pueden hacer que usted transmita su enfermedad a su animal. Si no está seguro, creo que debería intentar distanciarse del animal o al menos intentar evitar contaminar su comida.